Колловквиум №1 (Основные понятия теории разностных схем)

Обыкновенное дифференциальное уравнение, его порядок.

Определение

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое содержит производные неизвестной функции по одной независимой переменной.

Общий вид ОДУ:

\[ F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0 \]

где:

• \(x\) — независимая переменная,
• \(y = y(x)\) — искомая функция,
• \(y', y'', ..., y^{(n)}\) — производные функции \(y(x)\) по переменной \(x\) до \(n\)-го порядка включительно.

Порядок дифференциального уравнения

Порядок ОДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Задача Коши, краевая задача, формулировки.

Задача Коши

Задача Коши — это задача для дифференциального уравнения, при которой уравнение сопровождается начальными условиями, заданными в одной точке.

Для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]

Решение задачи Коши — это функция \(y(x)\), которая удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию при \(x = x_0\).

В общем виде (для систем и уравнений высших порядков):

\[ \begin{cases} \frac{d^n y}{dx^n} = F\left(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}\right), \\ y(x_0) = y_0, \\ y'(x_0) = y_1, \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} \end{cases} \]

Краевая задача

Краевая задача — это задача, в которой значения решения или его производных задаются не в одной точке (как в задаче Коши), а на границах отрезка \([a, b]\).

Пример для ОДУ второго порядка:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, y'), \quad x \in [a, b] \]

Краевая задача сопровождается граничными условиями, которые могут быть следующих типов:

Типы граничных условий

1. Условия Дирихле (I рода):

   Задаются значения функции на границах:

   \[ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta \]

2. Условия Неймана (II рода):

   Задаются значения производной функции на границах:

   \[ y'(a) = \alpha, \quad y'(b) = \beta \]

3. Условия Робина (III рода, смешанные):

   Линейная комбинация функции и её производной:

   \[ a_1 y(a) + b_1 y'(a) = \alpha, \quad a_2 y(b) + b_2 y'(b) = \beta \]

Решение задачи Коши методом Эйлера.

Метод Эйлера — это численный метод приближённого решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Пусть дана задача Коши:

\[ \begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y), \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]

Хотим найти приближённое значение функции \(y(x)\) на отрезке \([x_0, x_n]\).

Метод Эйлера

1. Разбиваем отрезок \([x_0, x_n]\) на \(n\) равных частей с шагом \(h\):

   \[ h = \frac{x_n - x_0}{n} \]

2. Строим последовательность приближённых значений:

   \[ x_k = x_0 + kh, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n \]

3. Итерационная формула метода Эйлера:

   \[ y_{k+1} = y_k + h \cdot f(x_k, y_k) \]

   где \(y_k\) — приближённое значение \(y(x_k)\).

Пошаговый алгоритм

Шаг 0: Инициализация:

• \(x_0\) — начальная точка
• \(y_0\) — начальное значение
• \(h\) — шаг

Шаг 1: Для \(k = 0\) до \(n-1\):

• Вычислить \(f(x_k, y_k)\)

• Посчитать:

  \[ y_{k+1} = y_k + h \cdot f(x_k, y_k) \]

• Перейти к следующему \(x_{k+1} = x_k + h\)

Погрешность

Метод Эйлера — метод первого порядка точности, и его глобальная погрешность порядка \(O(h)\), поэтому для точности нужно брать маленький шаг \(h\).

Неявная формула Адамса второго порядка точности

Методы Адамса — это многократные шаговые методы численного решения задачи Коши. Они бывают явные (Адамса–Башфорта) и неявные (Адамса–Мултона).

Здесь мы рассмотрим неявную формулу Адамса второго порядка точности, которая относится к методам Адамса–Мултона.

Задача Коши

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]

Неявная формула Адамса второго порядка (Адамса–Мултона)

Формула имеет вид:

\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[f(x_{n+1}, y_{n+1}) + f(x_n, y_n)\right] \]

• Здесь \(h\) — шаг сетки,
• \(f(x_n, y_n)\) — значение производной в текущей точке,
• \(f(x_{n+1}, y_{n+1})\) — значение производной в следующей точке (неизвестное),
• формула неявная, потому что \(y_{n+1}\) находится под знаком функции \(f\).

Обладает вторым порядком точности: погрешность \(O(h^2)\).

Метод Эйлера с пересчетом.

Метод Эйлера с пересчётом — это численный метод решения задачи Коши, который улучшает точность обычного метода Эйлера за счёт уточнения значения производной на шаге. Этот метод также называют:

• Усовершенствованный метод Эйлера
• Метод Эйлера–Коши
• Метод прогноза и коррекции
• Метод “предсказание–уточнение”

Задача Коши

\[ \begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y), \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]

Схема метода Эйлера с пересчётом

Для шага \(h\) и текущей точки \((x_n, y_n)\):

1. Предсказание (простой шаг Эйлера):

   \[ y_{n+1}^{(0)} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]

2. Коррекция (среднее значение производной):

   \[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1}^{(0)})\right] \]

Порядок точности: второй (\(O(h^2)\)), в отличие от обычного метода Эйлера (\(O(h)\)).

Если нужно — могу привести код на Python или сравнение с другими методами.

Семейство методов Рунге-Кутта (принцип построения).

Задача Коши

\[ y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]

Основная идея заключается в аппроксимации решения на каждом шаге за счёт взвешенного среднего нескольких оценок правой части уравнения \(f(x, y)\).

Общий вид метода Рунге-Кутта порядка \(s\) записывается как:

\[ y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i \]

где промежуточные значения \(k_i\) (называемые стадиями) определяются по формулам:

\[ k_i = f\left(x_n + c_i h, y_n + h \sum_{j=1}^{s} a_{ij} k_j\right), \quad i = 1, 2, \dots, s \]

Коэффициенты \(a_{ij}\), \(b_i\), \(c_i\) задают конкретный метод Рунге-Кутта и обычно представляются в виде таблицы Бутчера:

$$

Методы Рунге-Кутта строятся таким образом, чтобы приближение \(y_{n+1}\) обладало определённым порядком точности \(p\). Для этого коэффициенты \(a_{ij}\), \(b_i\), \(c_i\) подбираются так, чтобы удовлетворялись условия согласования, выведенные из разложения решения в ряд Тейлора.

Примеры:

• Метод Эйлера: \(s = 1\), \(b_1 = 1\), \(c_1 = 0\), \(a_{11} = 0\)
• Классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка (RK4): \(s = 4\), специальные значения коэффициентов

Методы Рунге-Кутта удобны тем, что не требуют вычисления производных \(f\) и обеспечивают высокую точность при умеренной вычислительной сложности.

Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

Метод Рунге-Кутта третьего порядка используется для численного решения задачи Коши:

\[ y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]

Его общая формула имеет вид:

\[ y_{n+1} = y_n + h (b_1 k_1 + b_2 k_2 + b_3 k_3) \]

где стадии вычисляются по формулам:

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(x_n, y_n) \\ k_2 &= f(x_n + a_2 h, y_n + h p*{21} k*1) \\ k_3 &= f(x_n + a_3 h, y_n + h (p*{31} k*1 + p*{32} k_2)) \end{aligned} \]

Одним из классических вариантов коэффициентов для метода третьего порядка является:

\[ \begin{aligned} a*2 &= \frac{1}{2}, &\quad p*{21} &= \frac{1}{2} \\ a*3 &= 1, &\quad p*{31} &= -1,\quad p_{32} = 2 \\ b_1 &= \frac{1}{6},\quad b_2 = \frac{2}{3},\quad b_3 = \frac{1}{6} \end{aligned} \]

Итоговая схема:

\[ \begin{aligned} k*1 &= f(x_n, y_n) \\ k_2 &= f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1\right) \\ k_3 &= f(x_n + h, y_n - h k_1 + 2h k_2) \\ u_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) \end{aligned} \]

Это обеспечивает аппроксимацию решения с порядком точности \(O(h^4)\) для локальной погрешности и \(O(h^3)\) для глобальной.

Таблица Бутчера для этого метода:

\[ \begin{array}{c|ccc} 0 & & & \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & & \\ 1 & -1 & 2 & \\ \hline & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \end{array} \]

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка (классический RK4)

\[ y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]

Общий вид схемы:

\[ \begin{aligned} k*1 &= f(x_n, y_n) \\ k_2 &= f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right) \\ k_3 &= f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right) \\ k_4 &= f(x_n + h, y_n + h k_3) \\ u_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

Этот метод обеспечивает локальную погрешность порядка \(O(h^5)\) и глобальную погрешность порядка \(O(h^4)\).

Коэффициенты метода:

• \(b_1 = \frac{1}{6}\), \(b_2 = \frac{1}{3}\), \(b_3 = \frac{1}{3}\), \(b_4 = \frac{1}{6}\)
• \(c_2 = \frac{1}{2}\), \(c_3 = \frac{1}{2}\), \(c_4 = 1\)
• Таблица Бутчера:

\[ \begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array} \]

Преимущества RK4:

• Высокая точность при умеренном числе вычислений.
• Не требует производных функции \(f(x, y)\).
• Подходит для большинства задач без жёстких требований к шагу.

Недостатки:

• Неэффективен для жёстких задач.
• Требует 4 вызова функции \(f\) на каждом шаге.

Оценка точности метода Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта характеризуются двумя основными видами точности:

• Локальная погрешность (локальная ошибка одного шага) — ошибка, допускаемая на одном шаге численного интегрирования при точном знании предыдущего значения.
• Глобальная погрешность — накопленная ошибка на всём интервале интегрирования.

Если метод Рунге-Кутта имеет порядок \(p\), то:

• Локальная погрешность: \(O(h^{p+1})\)
• Глобальная погрешность: \(O(h^p)\)

Сетка, узлы сетки, сеточные функции, сеточные нормы.

Сетка

Сеткой (или разбиением) на отрезке \([a, b]\) называется конечное множество точек:

\[ \omega = \{x_0, x_1, \dots, x_N\}, \quad a = x_0 < x_1 < \dots < x_N = b \]

• Если расстояния между соседними точками равны: \(x_{i+1} - x_i = h\), то сетка называется равномерной.
• В противном случае — неравномерной.

Шаг сетки:

\[ h*i = x*{i+1} - x_i, \quad h = \max h_i \]

Узлы сетки

Точки \(x_i \in \omega\) называются узлами сетки.

Сеточные функции

Сеточной функцией называется функция, заданная только в узлах сетки:

\[ y_i = y(x_i), \quad i = 0, 1, \dots, N \]

То есть сеточная функция — это набор значений функции в узлах:

\[ y^\omega = \{y_0, y_1, \dots, y_N\} \]

Сеточные нормы

Для оценки величины и ошибки сеточной функции используются сеточные нормы.

Наиболее часто применяются:

• Бесконечная (максимальная) норма:

\[ \|y^\omega\|_{C} = \max_{0 \le i \le N} |y_i| \]

• \(L_2\)-норма (дискретная):

\[ \|y^\omega\|_{L_2} = \left( \sum_{i=0}^{N} |y_i|^2 h_i \right)^{1/2} \]

(при равномерной сетке \(h_i = h\)):

\[ \|y^\omega\|_{L_2} = \left( h \sum_{i=0}^{N} |y_i|^2 \right)^{1/2} \]

Сеточные нормы позволяют количественно оценивать приближения численных методов и проводить сравнение между численным и точным решением.

Разностная аппроксимация, шаблон.

Разностная аппроксимация

Разностная аппроксимация — это замена производных в дифференциальных уравнениях разностными выражениями, то есть приближениями с использованием значений функции в узлах сетки.

Цель — построить численный метод решения дифференциального уравнения путём его аппроксимации конечными разностями.

Примеры разностных аппроксимаций для первой производной:

• Прямая (односторонняя) разность:

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_i}{h} \quad \text{(порядок точности } O(h)) \]

• Обратная разность:

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_i - y_{i-1}}{h} \quad \text{(порядок точности } O(h)) \]

• Центральная разность:

\[ y'(x_i) \approx \frac{u_{i+1} - y_{i-1}}{2h} \quad \text{(порядок точности } O(h^2)) \]

• Для второй производной:

\[ y''(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} \quad \text{(порядок точности } O(h^2)) \]

Шаблон

Шаблон — это графическая или табличная схема, показывающая, какие узлы и значения сеточной функции используются для вычисления разностного приближения.

Погрешность разностной аппроксимации.

Погрешность разностной аппроксимации — это разность между истинным значением производной и её приближённым значением, полученным с помощью разностной формулы.

Обозначим:

\[ \tau(x_i) = \left| \frac{d^k y}{dx^k}(x_i) - D_h^k y(x_i) \right| \]

где:

• \(\frac{d^k y}{dx^k}(x_i)\) — точное значение \(k\)-й производной,
• \(D_h^k y(x_i)\) — разностная аппроксимация этой производной,
• \(\tau(x_i)\) — локальная погрешность аппроксимации в узле \(x_i\).

Порядок точности

Порядок точности \(p\) разностной аппроксимации определяется как:

\[ \tau(x_i) = O(h^p) \]

где \(h\) — шаг сетки.

Это означает, что при уменьшении \(h\) в два раза, погрешность аппроксимации уменьшается примерно в \(2^p\) раз.

Примеры

• Прямая разность:

\[ y'(x*i) \approx \frac{u_{i+1} - y_i}{h}, \quad \tau = O(h) \]

• Центральная разность:

\[ y'(x*i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}, \quad \tau = O(h^2) \]

• Вторая производная (центральная схема):

\[ y''(x*i) \approx \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2}, \quad \tau = O(h^2) \]

Глобальная погрешность

Глобальная погрешность численного метода зависит от локальной погрешности аппроксимации и от устойчивости метода. При устойчивости схема с локальной погрешностью \(O(h^p)\) даёт глобальную погрешность того же порядка: \(O(h^p)\).

Вывод

• Чем выше порядок аппроксимации, тем выше точность при фиксированном шаге.
• Погрешность аппроксимации — ключевой критерий выбора разностной схемы.

Разностная схема, порядок аппроксимации.

Разностная схема, порядок аппроксимации

Разностная схема — это система алгебраических уравнений, полученная заменой производных в дифференциальном уравнении их разностными аппроксимациями.

Цель: численно решить задачу Коши или краевую задачу.

Пример:

Пусть задано уравнение:

\[ y'(x) = f(x), \quad y(x_0) = y_0 \]

Разностная схема (метод Эйлера):

\[ \frac{y_{i+1} - y_i}{h} = f(x_i), \quad y_0 = y(x_0) \]

Или:

\[ y_{i+1} = y_i + h f(x_i) \]

Схема определяет, как переходить от одного узла к другому.

Порядок аппроксимации

Порядок аппроксимации разностной схемы — это степень точности, с которой разностная схема аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение.

Пусть \(\tau_i\) — локальная (т.е. на одном шаге) погрешность аппроксимации. Тогда схема имеет порядок \(p\), если:

\[ \tau_i = O(h^p) \]

Определение порядка

Порядок аппроксимации можно определить с помощью разложения в ряд Тейлора точного решения и сравнения с разностной формулой. Если разности совпадают до членов \(O(h^p)\), то порядок схемы равен \(p\).

Пример:

Метод Эйлера:

\[ y_{i+1} = y_i + h f(x_i) \]

Разложим точное решение в ряд Тейлора:

\[ y(x_{i+1}) = y(x_i) + h y'(x_i) + \frac{h^2}{2} y''(x_i) + \dots \]

Сравнивая с формулой метода Эйлера, получаем:

\[ \tau_i = \frac{h^2}{2} y''(x_i) + O(h^3) \Rightarrow \tau_i = O(h^2) \]

Значит, метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

Вывод

• Разностная схема — основа численного метода.
• Порядок аппроксимации показывает, насколько точно схема приближает дифференциальное уравнение.
• Более высокий порядок означает меньшую погрешность при том же шаге \(h\).

Устойчивость разностной схемы, корректность.

Устойчивость — это свойство разностной схемы, при котором малые изменения входных данных (начальных условий, правых частей, округлений) не приводят к существенным отклонениям в решении.

Иначе говоря, устойчивость обеспечивает ограниченность возмущённого решения:

\[ \text{если } \|\delta f\| \to 0, \text{ то } \|\delta y^\omega\| \to 0 \]

Формальное определение устойчивости

Схема называется устойчивой, если существует такая постоянная \(C\), не зависящая от шага \(h\), что для любых двух решений \(y^\omega\) и \(\tilde{y}^\omega\) справедливо:

\[ \|y^\omega - \tilde{y}^\omega\| \le C \|f - \tilde{f}\| \]

Критерии устойчивости

Для линейных схем часто применяют спектральный анализ (например, метод фон Неймана), где устойчивость определяется по модулю характеристических чисел (например, необходимо \(|q| \le 1\)).

Корректность

Разностная схема называется корректной, если она:

1. Аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с заданным порядком;
2. Устойчива;
3. Сходится к точному решению при \(h \to 0\).

Связь между этими понятиями устанавливает теорема Лакса:

Если разностная схема линейна, аппроксимирует дифференциальное уравнение и устойчива, то она сходится к точному решению.

Вывод

• Устойчивость гарантирует, что метод не «взрывается» при малых погрешностях.
• Корректность — это комплексное свойство, включающее аппроксимацию, устойчивость и сходимость.
• При построении и анализе численных методов устойчивость — ключевое условие надёжности.

Погрешность разностной схемы, сходимость.

Погрешность разностной схемы

Погрешность разностной схемы — это разность между точным решением задачи, взятым в узлах сетки, и численным решением, полученным с помощью схемы.

Обозначим:

• \(y(x_i)\) — точное решение задачи в узле \(x_i\),
• \(y_i\) — численное решение, полученное из разностной схемы.

Тогда погрешность в узле \(x_i\):

\[ e_i = y(x_i) - y_i \]

Сходимость

Разностная схема называется сходящейся (конвергентной), если при уменьшении шага сетки \(h \to 0\) погрешность стремится к нулю во всех узлах:

\[ \| e^\omega \| = \max_i |e_i| \to 0, \quad h \to 0 \]

Связь с аппроксимацией и устойчивостью

• Если схема аппроксимирует дифференциальное уравнение с порядком \(p\) (локальная погрешность аппроксимации \(O(h^p)\)),
• И при этом схема устойчива,

то согласно теореме Лакса схема сходится с тем же порядком \(p\):

\[ \|e^\omega\| = O(h^p) \]

Практическое значение

• Аппроксимация гарантирует, что схема правильно приближает уравнение.
• Устойчивость гарантирует, что ошибки не накапливаются и не растут.
• Сходимость подтверждает, что численное решение стремится к точному при уменьшении шага.

Итог

Для надёжного численного решения задачи необходимо:

\[ \boxed{ \text{Аппроксимация} + \text{Устойчивость} \implies \text{Сходимость} } \]

Разностная аппроксимация первой, второй производной.

Пусть дана сетка \(\omega = \{x_0, x_1, \dots, x_N\}\) с шагом \(h = x_{i+1} - x_i\) и значения функции \(y_i = y(x_i)\).

Аппроксимация первой производной

1. Прямая (прямолинейная) разность (порядок \(O(h)\)):

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_i}{h} \]

2. Обратная разность (порядок \(O(h)\)):

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_i - y_{i-1}}{h} \]

3. Центральная разность (порядок \(O(h^2)\)):

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h} \]

Аппроксимация второй производной

1. Центральная разность для второй производной (порядок \(O(h^2)\)):

\[ y''(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}}{h^2} \]

Пояснения:

• Аппроксимации основаны на разложении функции в ряд Тейлора.
• Центральные разности имеют более высокий порядок точности по сравнению с односторонними.
• Эти формулы используются при построении разностных схем для численного решения дифференциальных уравнений.

Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка на отрезке \([a, b]\):

\[ -(p(x) y'(x))' + q(x) y(x) = f(x), \quad x \in [a, b] \]

где функции \(p(x)\), \(q(x)\), \(f(x)\) — заданные, и \(p(x) > 0\) на \([a,b]\).

Краевые условия

Для постановки краевой задачи необходимо задать условия на границах \(x=a\) и \(x=b\). Обычно используются:

• Дирихле (задача с фиксированными значениями):

\[ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta \]

• Нейман (задача с заданными производными):

\[ y'(a) = \gamma, \quad y'(b) = \delta \]

• Смешанные (обобщённые) краевые условия:

\[ \begin{cases} \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 \\ \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2 \end{cases} \]

Постановка краевой задачи

Нужно найти функцию \(y(x)\), удовлетворяющую уравнению и краевым условиям:

\[ \begin{cases} -(p(x) y'(x))' + q(x) y(x) = f(x), & x \in (a,b) \\ \text{краевые условия, например } y(a)=\alpha, \quad y(b)=\beta \end{cases} \]

Особенности

• При выполнении условий регулярности \(p(x), q(x), f(x)\) и \(p(x) > 0\) задача имеет единственное решение.
• Краевые задачи второго порядка часто решаются численными методами — методами конечных разностей, вариационными методами и т.п.

Пример задачи Дирихле

\[ \begin{cases} -y''(x) + q(x) y(x) = f(x), \quad x \in [a,b] \\ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta \end{cases} \]

Разностная аппроксимация краевой задачи для о.д.у. второго порядка.

Рассмотрим краевую задачу:

\[ \begin{cases} -(p(x) y'(x))' + q(x) y(x) = f(x), \quad x \in [a,b], \\ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta, \end{cases} \]

где \(p(x) > 0\), функции \(p, q, f\) заданы и достаточно гладкие.

Сетка и обозначения

Разобьём отрезок \([a,b]\) на равномерную сетку с шагом \(h = \frac{b - a}{N}\):

\[ x_i = a + i h, \quad i = 0,1,\ldots,N, \]

обозначим приближенное значение решения в узле \(x_i\) как \(y_i \approx y(x_i)\).

Аппроксимация производных

Для приближения производной используем центральные разности:

\[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}, \]

а для второго производного оператора применим аппроксимацию

\[ (p(x) y'(x))' \approx \frac{1}{h} \left[ p_{i+1/2} \frac{y_{i+1} - y_i}{h} - p_{i-1/2} \frac{y_i - y_{i-1}}{h} \right], \]

где

\[ p_{i+1/2} = p\left(x_i + \frac{h}{2}\right), \quad p_{i-1/2} = p\left(x_i - \frac{h}{2}\right). \]

Разностная схема

Подставляя аппроксимации, получаем для внутреннего узла \(i = 1, \ldots, N-1\):

\[ -\frac{1}{h^2} \left[ p_{i+1/2} (y_{i+1} - y_i) - p_{i-1/2} (y_i - y_{i-1}) \right] + q_i y_i = f_i, \]

где

\[ q_i = q(x_i), \quad f_i = f(x_i). \]

Краевые условия

Аппроксимируем краевые условия непосредственно:

\[ y_0 = \alpha, \quad y_N = \beta. \]

Итоговая система

Получается система линейных уравнений для \(\{y_i\}_{i=1}^{N-1}\):

\[ -a_i y_{i-1} + b_i y_i - c_i y_{i+1} = f_i, \quad i=1,\ldots,N-1, \]

где коэффициенты

\[ a_i = \frac{p_{i-1/2}}{h^2}, \quad c*i = \frac{p_{i+1/2}}{h^2}, \quad b_i = a_i + c_i + q_i. \]

С учётом граничных условий система замкнута.

Итоги

• Разностная схема имеет порядок аппроксимации \(O(h^2)\).
• Решение системы даёт приближённое решение краевой задачи во всех узлах.

Примеры уравнений с частными производными, краевые, начальные условия.

1. Уравнение теплопроводности (первого порядка по времени)

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in (a,b), \quad t > 0, \]

где \(\alpha > 0\) — коэффициент теплопроводности.

• Начальные условия:

\[ u(x,0) = \varphi(x), \quad a \leq x \leq b. \]

• Краевые условия:

  • Дирихле:

\[ u(a,t) = \mu_1(t), \quad u(b,t) = \mu_2(t). \]

• Нейман:

\[ \frac{\partial u}{\partial x}(a,t) = \nu_1(t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(b,t) = \nu_2(t). \]

2. Волновое уравнение (второго порядка по времени)

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in (a,b), \quad t > 0, \]

где \(c\) — скорость волны.

• Начальные условия:

\[ u(x,0) = \varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \psi(x). \]

• Краевые условия:

  • Дирихле:

\[ u(a,t) = \mu_1(t), \quad u(b,t) = \mu_2(t). \]

• Нейман:

\[ \frac{\partial u}{\partial x}(a,t) = \nu_1(t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(b,t) = \nu_2(t). \]

3. Уравнение Лапласа (стационарное)

\[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \]

в области \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\).

• Краевые условия (задача Дирихле):

\[ u|_{\partial \Omega} = g(x,y). \]

• Краевые условия (задача Неймана):

\[ \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{\partial \Omega} = h(x,y), \]

где \(\frac{\partial}{\partial n}\) — производная по нормали к границе.

4. Уравнение Пуассона

\[ \Delta u = f(x,y), \quad (x,y) \in \Omega, \]

с краевыми условиями, аналогичными уравнению Лапласа.

Итоги

Разностные схемы (явная, неявная) для одномерного уравнения теплопроводности, погрешность аппроксимации, её порядок.

Рассмотрим уравнение теплопроводности:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in [a,b], \quad t > 0, \]

с начальными и краевыми условиями.

1. Явная разностная схема (схема явного Эйлера)

Обозначим сетку:

• по пространству: \(x_i = a + i h\), \(i=0,\ldots,N\), шаг \(h\),
• по времени: \(t^n = n \tau\), \(n=0,1,2,\ldots\), шаг \(\tau\).

Обозначим приближение решения \(u_i^n \approx u(x_i, t^n)\).

Схема:

\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\tau} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n}{h^2}, \quad i=1,\ldots,N-1. \]

Переобозначим:

\[ u_i^{n+1} = u_i^n + \lambda (u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n), \quad \text{где } \lambda = \frac{\alpha \tau}{h^2}. \]

Погрешность аппроксимации явной схемы

Используя разложение в ряд Тейлора, локальная погрешность аппроксимации равна

\[ \tau = O(\tau) + O(h^2), \]

то есть первый порядок по времени и второй по пространству.

2. Неявная разностная схема (схема неявного Эйлера)

Схема:

\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\tau} = \alpha \frac{u_{i+1}^{n+1} - 2 u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{h^2}, \quad i=1,\ldots,N-1. \]

Или в виде:

\[ - \lambda u_{i-1}^{n+1} + (1 + 2 \lambda) u_i^{n+1} - \lambda u_{i+1}^{n+1} = u_i^n, \]

где \(\lambda = \frac{\alpha \tau}{h^2}\).

Погрешность аппроксимации неявной схемы

Локальная погрешность аппроксимации также

\[ \tau = O(\tau) + O(h^2). \]

Итоги:

Вывод

• Явная схема проста, но ограничена по шагу по времени.
• Неявная схема требует решения системы уравнений, но устойчива при любых параметрах.
• Обе схемы имеют порядок аппроксимации \(O(\tau + h^2)\).

Условная, абсолютная аппроксимация и устойчивость.

1. Аппроксимация разностной схемы

Разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при $ h, $ (размерах сетки) она приближённо воспроизводит исходное уравнение.

Локальная погрешность аппроксимации:

\[ \tau_i^n = \left| \text{Дифференциальный оператор} - \text{Разностный оператор} \right| = O(h^p + \tau^q) \]

где \(p\), \(q\) — порядки аппроксимации по пространству и времени.

2. Условная аппроксимация

Схема аппроксимирует уравнение условно, если сходимость имеет место только при выполнении определённых условий, например:

• \(\frac{\tau}{h^2} \leq C\) — условие Куранта для явной схемы теплопроводности.

То есть аппроксимация «работает» только при определённом соотношении шагов.

3. Абсолютная аппроксимация

Схема имеет абсолютную аппроксимацию, если порядок аппроксимации сохраняется при любых допустимых \(h, \tau\), без дополнительных ограничений.

Это означает, что приближение к дифференциальному уравнению устойчиво по отношению к произвольному выбору мелких шагов.

4. Устойчивость разностной схемы

Устойчивость — это свойство схемы, при котором малые возмущения (начальных условий, правых частей, округлений) не вызывают резкого роста ошибки.

Формально: существует постоянная \(C\), не зависящая от шага, такая что:

\[ \| \delta u^n \| \le C \| \delta f \| \]

Теорема Лакса (ключевой результат)

Если линейная разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение и является устойчивой, то она сходится, и её порядок сходимости равен порядку аппроксимации.

Вывод

Разностные схемы для одномерного волнового уравнения (явная, неявная), порядок аппроксимации, устойчивость.

Волновое уравнение:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in [a,b],\; t > 0 \]

1. Явная схема (второй порядок)

Сетка: \(x_i = a + ih\), \(t^n = n\tau\), \(u_i^n \approx u(x_i, t^n)\)

\[ \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{\tau^2} = c^2 \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{h^2} \]

Порядок аппроксимации:

\[ O(\tau^2 + h^2) \]

Устойчивость:
Условная устойчивость:

\[ \frac{c \tau}{h} \le 1 \quad \text{(условие Куранта)} \]

2. Неявная схема (схема Крачмара-Грегори)

\[ \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{\tau^2} = c^2 \frac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{h^2} \]

Порядок:

\[ O(\tau^2 + h^2) \]

Устойчивость:
Абсолютно устойчива (не требует ограничений на \(\tau, h\)).

Разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности (явная, неявная), порядок аппроксимации, устойчивость.

Уравнение:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \]

1. Явная схема

\[ u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n + \lambda \left( u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j+1}^n + u_{i,j-1}^n - 4u_{i,j}^n \right) \]

где \(\lambda = \frac{\alpha \tau}{h^2}\)

Порядок аппроксимации:

\[ O(\tau + h^2) \]

Устойчивость:
Условная:

\[ \lambda \le \frac{1}{4} \]

2. Неявная схема (с полной аппроксимацией по времени)

\[ \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^n}{\tau} = \alpha \left( \frac{u_{i+1,j}^{n+1} - 2u_{i,j}^{n+1} + u_{i-1,j}^{n+1}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1}^{n+1} - 2u_{i,j}^{n+1} + u_{i,j-1}^{n+1}}{h^2} \right) \]

Порядок:

\[ O(\tau + h^2) \]

Устойчивость:
Абсолютная (не требует ограничений на \(\tau, h\)).

Разностная схема для двумерного уравнения Лапласа, порядок аппроксимации, идея метода установления, итерационные методы решения.

Уравнение:

\[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]

Разностная аппроксимация (5-точечная схема)

Для узла \((i,j)\):

\[ \frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{h^2} = 0 \]

Порядок аппроксимации:

\[ O(h^2) \]

Метод установления

Метод установления (или метод простых итераций по времени):

• Представим Лапласово уравнение как псевдоуравнение теплопроводности:

  \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u \]

• Запускаем вычисления по «времени» до установления стационарного состояния:

  \[ u^{n+1}_{i,j} = u^n_{i,j} + \lambda \left( u^n*{i+1,j} + u^n*{i-1,j} + u^n*{i,j+1} + u^n*{i,j-1} - 4u^n_{i,j} \right) \]

Итерационные методы решения

Решение линейной системы, возникающей из разностной схемы:

• Метод простых итераций (Якоби)
  Быстро реализуется, но медленно сходится.

• Метод Гаусса-Зейделя
  Быстрее сходится, использует новые значения по ходу итерации.

• Метод сопряжённых градиентов (CG)
  Применим к симметричным положительно определённым системам.

• Метод прогонки (в случае одномерных уравнений)

Итог