Вариационное исчисление занимается нахождением экстремумов (минимумов или максимумов) функционалов.
Функционал — это отображение из множества функций в множество действительных чисел. Простейший пример функционала:
\[ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) \, dx, \]
где:
-\(y(x)\)— искомая функция, гладкая на отрезке\([a, b]\), -\(F(x, y, y')\)— заданная функция, непрерывная по всем аргументам и дифференцируемая по\(y\)и\(y'\), -\(y(a) = y_a, \quad y(b) = y_b\)— граничные условия (фиксированные значения функции на концах отрезка).
Найти такую функцию\(y(x)\), определённую на\([a, b]\)и удовлетворяющую граничным условиям, при которой функционал\(J[y]\)принимает наименьшее (или наибольшее) значение.
Если функция\(y(x)\)доставляет экстремум функционалу\(J[y]\), то она должна удовлетворять уравнению Эйлера–Лагранжа:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0. \]
Это уравнение является необходимым условием экстремума и применяется для нахождения кандидатов на решение задачи вариационного исчисления.
Пусть требуется найти кривую между двумя точками\((a, y_a)\)и\((b, y_b)\), для которой длина дуги минимальна. Функционал в этом случае:
\[ J[y] = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y'(x))^2} \, dx. \]
Здесь\(F(x, y, y') = \sqrt{1 + (y')^2}\), и уравнение Эйлера–Лагранжа примет вид:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}} \right) = 0. \]
Решением этой задачи будет отрезок прямой — кратчайшее расстояние между двумя точками.
Формулировка задачи вариационного исчисления включает:
Это мощный метод, применимый в механике, физике, геометрии и других областях.
Уравнение Эйлера — это необходимое условие экстремума функционала в задаче вариационного исчисления. Пусть дан функционал вида:
\[ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) \, dx, \]
где:
-\(y(x)\)— искомая функция, дифференцируемая на отрезке\([a, b]\), -\(y(a) = y_a, \quad y(b) = y_b\)— граничные условия, -\(F(x, y, y')\)— функция, непрерывно дифференцируемая по\(y\)и\(y'\).
Если функция\(y(x)\)доставляет экстремум функционалу\(J[y]\), то она удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0. \]
Это дифференциальное уравнение 2-го порядка для неизвестной функции\(y(x)\).
Краевая задача в вариационном исчислении формулируется как задача о нахождении функции\(y(x)\), которая экстремизирует заданный функционал при определённых условиях на концах отрезка\([a, b]\).
Функционал имеет вид:
\[ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \, dx. \]
В зависимости от условий, накладываемых на значения функции и её производных на концах отрезка, различают первую и вторую краевые задачи.
Первая краевая задача заключается в нахождении экстремали\(y(x)\), удовлетворяющей фиксированным значениям функции на концах отрезка:
\[ y(a) = y_a, \quad y(b) = y_b. \]
Это классическая постановка задачи Эйлера. Вариации\(\eta(x)\)при этом обязаны обращаться в ноль на концах:
\[ \eta(a) = \eta(b) = 0. \]
Результирующее уравнение — уравнение Эйлера:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0. \]
Вторая краевая задача формулируется при заданных значениях производной (касательной, потока и т. д.) на концах отрезка:
\[ y'(a) = \alpha, \quad y'(b) = \beta. \]
В этом случае вариации\(\eta(x)\)не обязаны быть нулевыми на концах. В результате интегрирования по частям при выводе уравнения Эйлера возникает дополнительное граничное выражение:
\[ \delta J = \int_{a}^{b} \left( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \right) \eta(x) \, dx + \left[ \frac{\partial F}{\partial y'} \eta \right]_a^b. \]
Для того чтобы\(\delta J = 0\)при произвольных\(\eta(x)\), нужно, чтобы:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0, \]
\[ \left. \frac{\partial F}{\partial y'} \right|_{x=a} = 0, \quad \left. \frac{\partial F}{\partial y'} \right|_{x=b} = 0, \]
если производные не заданы явно. Если заданы, то подставляются конкретные значения.
| Характеристика | Первая краевая задача | Вторая краевая задача |
|---|---|---|
| Что задано | Значения функции\(y\) | Значения производной\(y'\) |
| Тип условий | \(y(a), y(b)\)фиксированы | \(y'(a), y'(b)\)фиксированы |
| Вариации\(\eta(x)\) | \(\eta(a) = \eta(b) = 0\) | \(\eta(a), \eta(b)\)свободны |
| Дополнительные условия | Нет | Естественные краевые условия |
Первая и вторая краевые задачи различаются типом условий на границах области определения функции. Первая — фиксирует сами значения функции, вторая — её производные. Эти различия определяют форму вариаций и необходимость введения дополнительных условий на концах отрезка.
Рассмотрим следующую задачу вариационного исчисления:
Найти такую функцию\(u(x) \in C^2[a, b]\), которая при заданных граничных условиях\(u(a) = u_a, \ u(b) = u_b\)минимизирует функционал:
\[ J[u] = \int_{a}^{b} \left( \frac{1}{2} p(x) u'^2(x) + \frac{1}{2} q(x) u^2(x) - f(x) u(x) \right) dx, \]
где\(p(x) > 0\),\(q(x) \geq 0\),\(f(x)\)— заданные функции.
Показать, что задача нахождения экстремума функционала\(J[u]\)эквивалентна решению краевой задачи для дифференциального оператора второго порядка:
\[ L u = -\frac{d}{dx} \left( p(x) \frac{du}{dx} \right) + q(x) u = f(x), \quad x \in (a, b), \]
с граничными условиями:
\[ u(a) = u_a, \quad u(b) = u_b. \]
Рассмотрим вариацию функции\(u(x) \to u(x) + \varepsilon \eta(x)\), где\(\eta(x) \in C^1[a, b]\), причём\(\eta(a) = \eta(b) = 0\). Тогда:
\[ \delta J = \left. \frac{d}{d\varepsilon} J[u + \varepsilon \eta] \right|_{\varepsilon = 0} \]
Вычислим первую вариацию:
\[ \delta J = \int_{a}^{b} \left( p(x) u'(x) \eta'(x) + q(x) u(x) \eta(x) - f(x) \eta(x) \right) dx \]
Интегрируем первое слагаемое по частям:
\[ \int_{a}^{b} p(x) u'(x) \eta'(x) dx = -\int_{a}^{b} \left( \frac{d}{dx}(p(x) u'(x)) \right) \eta(x) dx, \]
так как\(\eta(a) = \eta(b) = 0\).
Подставим:
\[ \delta J = \int_{a}^{b} \left( -\frac{d}{dx}(p(x) u'(x)) + q(x) u(x) - f(x) \right) \eta(x) dx \]
Так как\(\eta(x)\)— произвольная гладкая функция, обращающаяся в ноль на концах отрезка, то для того, чтобы\(\delta J = 0\), необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было равно нулю:
\[ -\frac{d}{dx}(p(x) u'(x)) + q(x) u(x) = f(x) \]
или в операторной форме:
\[ L u = f(x) \]
Таким образом, задача нахождения минимума (или стационарной точки) функционала:
\[ J[u] = \int_{a}^{b} \left( \frac{1}{2} p(x) u'^2 + \frac{1}{2} q(x) u^2 - f u \right) dx \]
эквивалентна задаче о нахождении решения краевой задачи:
\[ L u = f(x), \quad u(a) = u_a, \quad u(b) = u_b, \]
где\(L\)— линейный дифференциальный оператор второго порядка.
Такая эквивалентность встречается, например, в задачах статики балки, теплопроводности и механики сплошных сред, где функционал представляет собой потенциальную энергию, а уравнение\(Lu = f\)— уравнение равновесия системы.
Пространство Соболева\(W_2^1(a, b)\)(также обозначается как\(H^1(a, b)\)) — это функциональное пространство, состоящее из функций, которые:
Множество функций\(u(x)\), таких что:
\[ u \in L_2(a, b), \quad u' \in L_2(a, b), \]
образует пространство\(W_2^1(a, b)\).
Здесь:
-\(L_2(a, b)\)— пространство квадратично интегрируемых функций на\([a, b]\), -\(u'\)— производная в смысле обобщённых (слабых) производных.
В пространстве\(W_2^1(a, b)\)естественным образом вводится норма Соболева:
\[ \|u\|_{W_2^1} = \left( \int_{a}^{b} |u(x)|^2 dx + \int_{a}^{b} |u'(x)|^2 dx \right)^{1/2}. \]
Также определяют скалярное произведение:
\[ (u, v)_{W_2^1} = \int_{a}^{b} u(x)v(x) \, dx + \int_{a}^{b} u'(x)v'(x) \, dx. \]
С этим скалярным произведением пространство\(W_2^1(a, b)\)становится гильбертовым пространством.
| Подход | Требования | Пространство |
|---|---|---|
| Классический | \(u \in C^1[a, b]\) | Пространство непрерывных и дифференцируемых функций |
| Обобщённый (Соболева) | \(u \in L_2(a, b),\ u' \in L_2(a, b)\) | \(W_2^1(a, b)\) |
Пространство Соболева шире и позволяет работать с функциями, которые не обязаны иметь классическую производную в каждой точке, но обладают обобщённой производной.
Одномерное пространство Соболева\(W_2^1(a, b)\)— это важная функциональная среда, в которой удобно формулировать и решать задачи вариационного исчисления, задачи в слабой форме и краевые задачи. Его норма учитывает как значения функции, так и её производной, что отражает физический и геометрический смысл энергии в задачах механики и физики.
Пусть\(\Omega \subset \mathbb{R}^2\)— ограниченная область с достаточно “хорошей” границей (например, липшицевой).
Тогда двумерное пространство Соболева\(W_2^1(\Omega)\)— это множество функций
\[ u : \Omega \to \mathbb{R}, \]
удовлетворяющих следующим условиям:
1.\(u \in L_2(\Omega)\), то есть
\[ \int_{\Omega} |u(x, y)|^2 \, dx dy < +\infty, \]
\[ \int_{\Omega} \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right|^2 dx dy < +\infty, \quad \int_{\Omega} \left| \frac{\partial u}{\partial y} \right|^2 dx dy < +\infty. \]
Введём норму Соболева в\(W_2^1(\Omega)\):
\[ \| u \|_{W_2^1(\Omega)} = \left( \int_{\Omega} |u|^2 \, dx dy + \int_{\Omega} \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right|^2 dx dy + \int_{\Omega} \left| \frac{\partial u}{\partial y} \right|^2 dx dy \right)^{1/2}. \]
Также часто используют скалярное произведение:
\[ (u, v)_{W_2^1(\Omega)} = \int_{\Omega} u v \, dx dy + \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx dy + \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y} \, dx dy. \]
С этим скалярным произведением\(W_2^1(\Omega)\)является гильбертовым пространством.
| Характеристика | Одномерное пространство\(W_2^1(a,b)\) | Двумерное пространство\(W_2^1(\Omega)\) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Область определения | Отрезок\([a,b]\) | Область\(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) | ||||||||||
| Производные | Первая производная\(u'\) | Частные производные\(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\) | ||||||||||
| Норма | ( ( | u | ^2 + | u’ | ^2 )^{1/2} ) | ( ( | u | ^2 + | u_x | ^2 + | u_y | ^2 )^{1/2} ) |
| Гильбертово пространство | Да | Да |
Двумерное пространство Соболева\(W_2^1(\Omega)\)расширяет понятие пространств Соболева на функции нескольких переменных, что необходимо для постановки и решения многомерных задач вариационного исчисления, краевых задач и задач в частных производных.
Пусть дана задача вариационного исчисления: найти функцию\(u\)на отрезке\([a,b]\), которая минимизирует функционал
\[ J[u] = \int_{a}^{b} F(x, u(x), u'(x)) \, dx, \]
при фиксированных граничных условиях (например,\(u(a) = u_a\),\(u(b) = u_b\)).
Метод Ритца — это численный метод приближенного решения вариационных задач и связанных с ними дифференциальных уравнений.
\[ V_n = \mathrm{span}\{\phi_1(x), \phi_2(x), \ldots, \phi_n(x)\}, \]
где\(\{\phi_i\}\)— набор базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям.
\[ u_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x), \]
где\(c_i\)— неизвестные коэффициенты.
\[ J[u_n] = J(c_1, c_2, \ldots, c_n), \]
который теперь зависит от конечного набора параметров\(c_i\).
\[ \min_{c_1, \ldots, c_n} J(c_1, \ldots, c_n). \]
Минимум достигается при выполнении системы уравнений:
\[ \frac{\partial J}{\partial c_i} = 0, \quad i=1, \ldots, n. \]
Решение этой системы даёт приближенное решение задачи.
Метод Ритца позволяет свести бесконечномерную задачу вариационного исчисления к конечномерной задаче оптимизации. С ростом числа базисных функций\(n\)приближение становится точнее.
Используя метод Ритца для приближенного решения вариационной задачи, ищем решение в виде
\[ u_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x), \]
где\(\{\phi_i\}_{i=1}^n\)— выбранный базис в конечномерном подпространстве\(V_n\).
Функционал\(J[u]\)сводится к функции параметров\(\mathbf{c} = (c_1, \ldots, c_n)\):
\[ J(\mathbf{c}) = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n a_{ij} c_i c_j - \sum_{i=1}^n b_i c_i + \text{const}, \]
где
\[ a_{ij} = a(\phi_i, \phi_j), \quad b_i = l(\phi_i), \]
и\(a(\cdot, \cdot)\)— билинейная форма,\(l(\cdot)\)— линейный функционал.
Минимум\(J(\mathbf{c})\)достигается при выполнении условий:
\[ \frac{\partial J}{\partial c_k} = \sum_{j=1}^n a_{kj} c_j - b_k = 0, \quad k=1, \ldots, n. \]
Или в матричной форме:
\[ A \mathbf{c} = \mathbf{b}, \]
где
\[ A = (a_{ij})_{i,j=1}^n, \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T. \]
\[ a_{ij} = a(\phi_i, \phi_j) = a(\phi_j, \phi_i) = a_{ji}. \]
Для любых ненулевых коэффициентов\(\mathbf{c} \neq 0\):
\[ \mathbf{c}^T A \mathbf{c} = a\left( \sum_{i=1}^n c_i \phi_i, \sum_{j=1}^n c_j \phi_j \right) > 0, \]
если билинейная форма\(a(\cdot, \cdot)\)связана с энергетической формой и является положительно определённой.
В частных случаях, например, при использовании базиса из ортогональных функций, матрица\(A\)может быть диагональной или разреженной, что существенно упрощает вычисления.
Пусть дана краевая задача для линейного оператора\(L\):
\[ L u = f, \]
где\(u\)— искомая функция из подходящего пространства,\(f\)— заданая функция.
Метод Галеркина — численный метод приближенного решения дифференциальных уравнений и вариационных задач.
Выбирается конечномерное подпространство\(V_n = \mathrm{span}\{\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n\}\), где функции\(\phi_i\)удовлетворяют граничным условиям.
Ищется приближенное решение
\[ u_n = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i, \]
где\(c_i\)— неизвестные коэффициенты.
\[ (R(u_n), \phi_j) = 0, \quad j=1, \ldots, n, \]
где\((\cdot, \cdot)\)— скалярное произведение в соответствующем пространстве.
Из условия ортогональности получаем систему линейных уравнений:
\[ \sum_{i=1}^n c_i (L \phi_i, \phi_j) = (f, \phi_j), \quad j=1, \ldots, n. \]
В матричной форме:
\[ A \mathbf{c} = \mathbf{b}, \]
где
\[ A_{ji} = (L \phi_i, \phi_j), \quad b_j = (f, \phi_j). \]
Метод Галеркина сводит бесконечномерную задачу к решению конечномерной системы уравнений для коэффициентов\(c_i\).
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения краевых задач и задач вариационного исчисления, основанный на разбиении области на простейшие элементы и использовании локальных аппроксимирующих функций.
Свойства конечных элементов обеспечивают:
Выбор типа и свойств конечных элементов зависит от конкретной задачи, требуемой точности и вычислительных ресурсов.
Рассмотрим уравнение второго порядка на отрезке\([a,b]\):
\[ \begin{cases} - (p(x) u'(x))' + q(x) u(x) = f(x), & x \in (a,b), \\ u(a) = \alpha, \quad u(b) = \beta, \end{cases} \]
где функции\(p(x) > 0\),\(q(x) \geq 0\),\(f(x)\)заданы, а\(\alpha, \beta\)— фиксированные граничные значения.
Пусть
\[ V = \{ v \in W_2^1(a,b) \mid v(a) = v(b) = 0 \} \]
— пространство функций с нулевыми граничными значениями.
Вводим вспомогательную функцию
\[ u = w + \tilde{u}, \quad \text{где } \tilde{u} \in W_2^1(a,b), \ \tilde{u}(a)=\alpha, \ \tilde{u}(b) = \beta, \]
а\(w \in V\).
Тогда вариационная постановка:
Найти\(w \in V\), такую что для всех\(v \in V\)выполнено
\[ a(w, v) = l(v), \]
где билинейная форма
\[ a(w, v) = \int_a^b \left( p(x) w'(x) v'(x) + q(x) w(x) v(x) \right) dx, \]
линейный функционал
\[ l(v) = \int_a^b f(x) v(x) dx - \int_a^b \left( p(x) \tilde{u}'(x) v'(x) + q(x) \tilde{u}(x) v(x) \right) dx. \]
\[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b. \]
\[ V_h = \mathrm{span}\{\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_{n-1}\}, \]
где\(\phi_i\)— локальные функции формы, удовлетворяющие
\[ \phi_i(x_j) = \delta_{ij}, \quad \phi_i(a) = \phi_i(b) = 0. \]
\[ w_h = \sum_{i=1}^{n-1} c_i \phi_i(x). \]
Подставляя\(w_h\)в вариационную формулировку и требуя её выполнение для всех базисных функций\(\phi_j\), получаем систему
\[ \sum_{i=1}^{n-1} c_i a(\phi_i, \phi_j) = l(\phi_j), \quad j=1, \ldots, n-1. \]
В матричной форме:
\[ A \mathbf{c} = \mathbf{b}, \]
где
\[ A_{ji} = a(\phi_i, \phi_j), \quad b_j = l(\phi_j). \]
\[ u_h = w_h + \tilde{u} = \sum_{i=1}^{n-1} c_i \phi_i + \tilde{u}, \]
где\(\tilde{u}\)— функция, задающая граничные условия.
Для однородных граничных условий (\(\alpha = \beta = 0\)) функция\(\tilde{u}\)отсутствует, и задача формулируется непосредственно в пространстве\(V\).
Рассмотрим одномерный отрезок\([a,b]\)и конечномерное подпространство\(V_h \subset W_2^1(a,b)\)из кусочно-линейных функций на разбиении
\[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b. \]
Для каждого узла\(x_i\),\(i=1, \ldots, n-1\), определим функцию формы (базисную функцию)
\[ \phi_i(x) = \begin{cases} \frac{x - x_{i-1}}{h_i}, & x \in [x_{i-1}, x_i], \\ \frac{x_{i+1} - x}{h_{i+1}}, & x \in [x_i, x_{i+1}], \\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} \]
где
\[ h_i = x_i - x_{i-1}, \quad h_{i+1} = x_{i+1} - x_i. \]
Функция\(\phi_i\)ненулевая только на интервале
\[ [x_{i-1}, x_{i+1}], \]
что минимизирует “область влияния” функции.
\[ \mathrm{supp}(\phi_i) = [x_{i-1}, x_{i+1}], \]
где функция равна нулю вне этого интервала.
На каждом подынтервале\([x_{i-1}, x_i]\)и\([x_i, x_{i+1}]\)функция линейна.
Функции\(\{\phi_i\}_{i=1}^{n-1}\)образуют базис пространства\(V_h\):
-\(\phi_i(x_j) = \delta_{ij}\)(условие Кронекера), - Любая функция\(v_h \in V_h\)представляется в виде
\[ v_h(x) = \sum_{i=1}^{n-1} v_i \phi_i(x), \]
где\(v_i = v_h(x_i)\).
Базис из функций с минимальными носителями — стандартный выбор для одномерных МКЭ с кусочно-линейными элементами, обладающий удобными свойствами для построения разреженных систем и локальных аппроксимаций.
Рассмотрим задачу на двумерной области\(\Omega \subset \mathbb{R}^2\):
\[ \begin{cases} - \nabla \cdot (p(\mathbf{x}) \nabla u(\mathbf{x})) + q(\mathbf{x}) u(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}), & \mathbf{x} \in \Omega, \\ p(\mathbf{x}) \frac{\partial u}{\partial n}(\mathbf{x}) = g(\mathbf{x}), & \mathbf{x} \in \partial \Omega, \end{cases} \]
где\(p(\mathbf{x}) > 0\),\(q(\mathbf{x}) \geq 0\), функции\(f, g\)заданы,\(\frac{\partial u}{\partial n}\)— нормальная производная на границе\(\partial \Omega\).
Определим пространство
\[ V = W_2^1(\Omega), \]
т.е. функции с квадратно интегрируемыми первыми производными без жестких граничных условий.
Вариационная постановка: найти\(u \in V\), такую что для всех\(v \in V\):
\[ a(u,v) = l(v), \]
где
\[ a(u,v) = \int_\Omega \left( p(\mathbf{x}) \nabla u \cdot \nabla v + q(\mathbf{x}) u v \right) d\mathbf{x}, \]
\[ l(v) = \int_\Omega f v \, d\mathbf{x} + \int_{\partial \Omega} g v \, ds. \]
\[ \Omega = \bigcup_{k=1}^N K_k, \]
где каждый элемент\(K_k\)— прямоугольник.
Выбирается конечномерное подпространство\(V_h \subset V\)из кусочно-линейных (или билинейных) функций, которые:
Базисные функции\(\{\phi_i\}\)имеют локальную поддержку, связаны с узлами сетки.
Ищем
\[ u_h(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^M c_i \phi_i(\mathbf{x}), \]
где\(M\)— число узлов сетки, а\(c_i\)— коэффициенты.
Из вариационной постановки для всех базисных функций\(\phi_j\)получаем
\[ \sum_{i=1}^M c_i a(\phi_i, \phi_j) = l(\phi_j), \quad j=1, \ldots, M. \]
Матрица системы:
\[ A = (a_{ji})_{j,i=1}^M, \quad a_{ji} = a(\phi_i, \phi_j), \]
вектор правой части:
\[ b_j = l(\phi_j). \]
\[ \phi_{ij}(\xi,\eta) = (1-\xi)(1-\eta), \quad \text{и др.} \]
Интегралы в формулах для\(a(\cdot,\cdot)\)и\(l(\cdot)\)вычисляются по элементам с помощью численных квадратур (например, квадратура Гаусса).
Матрица\(A\)разреженная, симметричная и положительно определённая при\(q(\mathbf{x}) \ge 0\).
Метод конечных элементов с разбиением области на прямоугольники и использованием билинейных функций формы позволяет эффективно решать вторую краевую задачу в двумерной постановке, сводя её к решению разреженной системы линейных уравнений.
Для учета сложной геометрии или неоднородных условий возможны более сложные типы элементов и адаптивное разбиение.
Рассмотрим задачу на области\(\Omega \subset \mathbb{R}^2\):
\[ \begin{cases} - \nabla \cdot (p(\mathbf{x}) \nabla u(\mathbf{x})) + q(\mathbf{x}) u(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}), & \mathbf{x} \in \Omega, \\ p(\mathbf{x}) \frac{\partial u}{\partial n}(\mathbf{x}) = g(\mathbf{x}), & \mathbf{x} \in \partial \Omega, \end{cases} \]
где\(p(\mathbf{x}) > 0\),\(q(\mathbf{x}) \geq 0\), функции\(f, g\)заданы, а\(\frac{\partial u}{\partial n}\)— нормальная производная на границе\(\partial \Omega\).
Определим пространство
\[ V = W_2^1(\Omega), \]
без жестких граничных условий (поскольку заданы естественные условия Неймана).
Найти\(u \in V\), такую что для всех\(v \in V\):
\[ a(u,v) = l(v), \]
где билинейная форма
\[ a(u,v) = \int_\Omega \left( p(\mathbf{x}) \nabla u \cdot \nabla v + q(\mathbf{x}) u v \right) d\mathbf{x}, \]
линейный функционал
\[ l(v) = \int_\Omega f v \, d\mathbf{x} + \int_{\partial \Omega} g v \, ds. \]
\[ \Omega = \bigcup_{k=1}^N K_k, \]
где каждый\(K_k\)— треугольник, часто выбирается так, чтобы элементы были “прямоугольными” (например, один угол — прямой).
-\(V_h \subset V\)— пространство кусочно-линейных функций на триангуляции, непрерывных на\(\Omega\), - Каждая функция из\(V_h\)линейна на каждом треугольнике, - Базис\(\{\phi_i\}_{i=1}^M\)строится с помощью функций формы, соответствующих узлам сетки, - Функции формы\(\phi_i\)удовлетворяют свойству
\[ \phi_i(\mathbf{x}_j) = \delta_{ij}, \]
где\(\mathbf{x}_j\)— узлы разбиения.
Ищем решение в виде
\[ u_h(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^M c_i \phi_i(\mathbf{x}), \]
где\(c_i\)— коэффициенты, которые нужно определить.
Подставляя\(u_h\)в вариационную форму и используя тестовые функции\(\phi_j\), получаем
\[ \sum_{i=1}^M c_i a(\phi_i, \phi_j) = l(\phi_j), \quad j=1,\ldots,M, \]
где
\[ a(\phi_i, \phi_j) = \int_\Omega \left( p \nabla \phi_i \cdot \nabla \phi_j + q \phi_i \phi_j \right) d\mathbf{x}, \]
\[ l(\phi_j) = \int_\Omega f \phi_j \, d\mathbf{x} + \int_{\partial \Omega} g \phi_j \, ds. \]
\[ a(\phi_i, \phi_j) = \sum_{k=1}^N \int_{K_k} \left( p \nabla \phi_i \cdot \nabla \phi_j + q \phi_i \phi_j \right) d\mathbf{x}, \]
\[ l(\phi_j) = \sum_{k=1}^N \int_{K_k} f \phi_j \, d\mathbf{x} + \int_{\partial \Omega} g \phi_j \, ds. \]
Метод конечных элементов с разбиением области на треугольники и использованием кусочно-линейных функций формы эффективно решает вторую краевую задачу, сводя её к решению разреженной системы линейных уравнений.
Метод коллокации — численный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанный на выполнении уравнения в конечном числе точек (узлах коллокации).
Пусть необходимо найти приближенную функцию\(u_n\)из конечномерного пространства (например, полиномов степени\(n\)):
\[ u_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i \varphi_i(x), \]
где\(\{\varphi_i\}\)— базисные функции,\(c_i\)— искомые коэффициенты.
Условия коллокации — требование, чтобы приближенное решение удовлетворяло исходному уравнению в заданных точках (узлах коллокации)\(\{x_j\}_{j=1}^n\):
\[ L u_n (x_j) = f(x_j), \quad j=1, \ldots, n, \]
где\(L\)— оператор задачи,\(f\)— заданная функция.
Выбор расположения узлов — ключевой момент:
\[ x_j = a + (j-1) \frac{b-a}{n-1}, \quad j=1,\ldots,n. \]
Простой выбор, но может привести к проблемам (например, эффект Рунге при интерполяции полиномами высокой степени).
Узлы Чебышёва (Чебышёвские узлы)
Для интервала\([-1,1]\):
\[ x_j = \cos\left( \frac{2j -1}{2n} \pi \right), \quad j=1,\ldots,n, \]
или для общего интервала\([a,b]\)— через аффинное преобразование.
Такие узлы уменьшают колебания приближения и улучшают устойчивость.
Адаптивные узлы
Узлы выбираются с учётом особенностей решения (например, с большей плотностью там, где решение меняется быстрее).
При интерполяции многочленом степени\(n-1\)узлы коллокации — это точки, где функция и многочлен совпадают, часто выбираемые как Чебышёвские узлы для уменьшения ошибок.
Сплайн-разностная схема — численный метод решения краевых задач, основанный на использовании кубических сплайнов для аппроксимации решения и введении условий коллокации.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
\[ Lu = f, \]
на отрезке\([a,b]\)с заданными краевыми условиями.
Решение\(u(x)\)аппроксимируется кубическим сплайном\(S(x)\), построенным на узлах разбиения
\[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b, \]
так что
-\(S(x_i) = u_i\)— значения сплайна в узлах, -\(S''(x_i) = M_i\)— вторые производные в узлах (неизвестные параметры).
Метод требует, чтобы приближение\(S(x)\)удовлетворяло дифференциальному уравнению в узлах коллокации — обычно в тех же узлах\(x_i\):
\[ L S(x_i) = f(x_i), \quad i=1, \ldots, n-1. \]
Часто используются только внутренние узлы (исключая границы).
Из свойств кубического сплайна известно, что на каждом интервале\([x_i, x_{i+1}]\):
\[ S(x) = \frac{M_{i+1} (x - x_i)^3}{6 h_i} + \frac{M_i (x_{i+1} - x)^3}{6 h_i} + \left( \frac{u_{i+1}}{h_i} - \frac{M_{i+1} h_i}{6} \right) (x - x_i) + \left( \frac{u_i}{h_i} - \frac{M_i h_i}{6} \right)(x_{i+1} - x), \]
где
\[ h_i = x_{i+1} - x_i. \]
Использование коллокационных условий
Внутри узлов\(x_i\)подставляем\(S(x_i)\)и вычисляем\(L S(x_i)\), получая систему уравнений, связывающую\(u_i\)и\(M_i\).
Связь между\(M_i\)и\(u_i\)
Вторые производные\(M_i\)связаны с\(u_i\)через разностные соотношения (например, классическая система уравнений для сплайнов):
\[ \frac{M_{i+1} - M_i}{h_i} = \text{выражается через } u_i, u_{i+1}, u_{i+2}, \]
либо через систему, полученную из гладкости и краевых условий.
Учёт краевых условий
Краевые условия (например, значения функции или её производных на концах) позволяют замкнуть систему.
Решение системы
В итоге формируется линейная система с неизвестными\(u_i\)и\(M_i\), которая решается численно.
Пусть\(u\)— точное решение вариационной задачи:
\[ a(u,v) = l(v) \quad \forall v \in V, \]
где\(V\)— гильбертово (или банахово) пространство,\(a(\cdot,\cdot)\)— непрерывная и\(\alpha\)-квазиположительно определённая билинейная форма, а\(l\)— непрерывный линейный функционал.
Пусть\(u_h \in V_h \subset V\)— приближённое решение в конечномерном подпространстве\(V_h\), т.е.
\[ a(u_h, v_h) = l(v_h) \quad \forall v_h \in V_h. \]
Если билинейная форма\(a(\cdot,\cdot)\)удовлетворяет условию непрерывности
\[ |a(u,v)| \leq M \|u\|_V \|v\|_V, \]
и условию квазиположительной определённости (коэрцитивности)
\[ a(v,v) \geq \alpha \|v\|_V^2, \quad \alpha > 0, \]
то погрешность аппроксимации оценивается следующим образом:
\[ \|u - u_h\|_V \leq \frac{M}{\alpha} \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_V, \]
где\(\|\cdot\|_V\)— норма в пространстве\(V\).
B-сплайны — базисные функции для пространств сплайнов с удобными свойствами:
Метод сплайн-компоновки (МСК) предполагает аппроксимацию искомой функции\(u(x)\)в виде
\[ u_h(x) = \sum_{i} c_i N_{i,k}(x), \]
где
-\(N_{i,k}(x)\)— B-сплайны порядка\(k\)(степени\(k-1\)), -\(c_i\)— неизвестные коэффициенты.
Локальная поддержка функций
Каждый B-сплайн\(N_{i,k}(x)\)ненулевой только на ограниченном интервале, что обеспечивает разреженность систем уравнений.
Гладкость
Сплайны обеспечивают гладкость до порядка\(k-2\)включительно, что важно при аппроксимации решений дифференциальных задач.
Простота реализации
Рекурсивное определение B-сплайнов (формулы де Бура):
\[ \begin{cases} N_{i,1}(x) = \begin{cases} 1, & t_i \le x < t_{i+1}, \\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} \\ N_{i,k}(x) = \frac{x - t_i}{t_{i+k-1} - t_i} N_{i,k-1}(x) + \frac{t_{i+k} - x}{t_{i+k} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(x), \end{cases} \]
где\(\{t_i\}\)— узлы (узловой вектор).
Контроль гладкости и аппроксимации
Изменяя порядок и узлы сплайнов, можно управлять точностью и гладкостью аппроксимации.
Для задачи
\[ Lu = f, \quad x \in [a,b], \]
с использованием МСК с B-сплайнами приближение
\[ u_h(x) = \sum_i c_i N_{i,k}(x) \]
определяется из системы уравнений, составленной, например, методом коллокации или методом Галеркина.
Использование B-сплайнов в методах сплайн-компоновки — эффективный способ построения гладких, локализованных и хорошо аппроксимирующих функций для численного решения дифференциальных задач.
Схемы повышенной точности — методы построения аппроксимаций, обеспечивающие порядок сходимости выше базового, например, порядка\(O(h^4)\)вместо\(O(h^2)\).
В методах сплайн-компоновки достигается за счёт:
Локальная поддержка базисных функций
Гладкость аппроксимации
Стабильность
Высокий порядок сходимости
Универсальность
Простота реализации
Схемы повышенной точности в МСК обеспечивают более быстрый спад ошибки за счёт улучшенной аппроксимации и точных условий согласования. Основные свойства методов сплайн-компоновки делают их мощным инструментом для численного решения дифференциальных уравнений с высокой точностью и эффективностью.